[백준] 1699번-제곱수의 합

문제

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 $11=3^{2}+1^{2}+1^{2}$(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 $11=2^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}$(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

풀이과정

1.규칙

• DP이므로 점화식과 메모이제이션을 이용합니다.
• N=7일 경우, 제곱수는 $2^{2}, 1^{2}, 1^{2}, 1^{2} = 4$ 로 나타낼수 있습니다.

2.순서

점화식을 생각해 봅니다.

N=4일 경우, 4는 $1^{2},1^{2},1^{2},1^{2}$ 이기도 하지만, $2^{2}$ 만으로도 만들어낼 수 있습니다.

이를 메모이제이션 배열로 표현해보면 d[4] 또는 $d[4-2^{2}]+1$( 즉, $d[n-(2부터\sqrt{n})^{2}]+1$ )이 됩니다.

결국 점화식은 d[n] = max(d[n], d[n-(i*i)]+1) 이고,

아래처럼 N=11일 경우에 이 점화식을 사용하면 정답값 3이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

3.코드

	#include <iostream>
	#include <algorithm>
	using namespace std;
	int d[100001];
	int main()
	{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
	d[i] = i;
	for (int j = 2; (j*j) <= i; j++)
	d[i] = min(d[i], d[i-(j*j)] + 1);
	}
	cout << d[n] << endl;
	return 0;
	}

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